Le infinite applicazioni degli equilibri di Nash hanno spiegato: perché John Nash era un genio - Febbraio 2023

Il premio Nobel John F. Nash Jr è morto domenica in un incidente d'auto.

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John F. Nash Jr è morto domenica in un incidente d'auto. Stava tornando a casa dall'aeroporto di Newark, appena tornato dalla Norvegia, dove ha ricevuto il prestigioso Premio Abel per la matematica. Il lavoro di Nash sulla teoria dei giochi, per il quale ha ottenuto il Nobel per l'economia nel 1994 - è l'unica persona ad aver vinto entrambi gli onori - è probabilmente il più noto. Il concetto di equilibrio di Nash è intuitivo, elegante e relativamente facile da capire. È abbastanza specifico da generare risultati e analisi significativi, ma abbastanza generale da essere esteso e applicato a una varietà di discipline: biologia evolutiva, economia, studi sulla difesa e politica, per esempio. Ma la comunità matematica considera il suo lavoro in geometria ed equazioni differenziali alle derivate parziali come il suo più importante e profondo, secondo la sua citazione del Premio Abel.



È incredibile che il lavoro di Nash, vincitore del premio Nobel e Abel, sia stato completato all'età di 30 anni. Ha scritto solo un articolo di 23 pagine nel 1958 sulle equazioni differenziali alle derivate parziali, e come ha notato Harold W Kuhn durante il seminario Nobel nel 1994 , i risultati per i quali è stato premiato questa settimana sono stati ottenuti nei suoi primi 14 mesi di studi universitari. In effetti, Nash è venuto a Princeton come studente di dottorato con una lettera di raccomandazione di una riga da R L Duffin del Carnegie Institute of Technology, dove era uno studente universitario: Quest'uomo è un genio. A W Tucker, relatore di tesi di Nash a Princeton, scrisse anni dopo: A volte ho pensato che questa raccomandazione fosse stravagante, ma più conosco Nash più sono incline a concordare sul fatto che Duffin avesse ragione.


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Ma all'inizio del 1959, Nash iniziò a perdere il controllo e iniziò a mostrare sintomi di schizofrenia. Divenne paranoico e delirante e, a parte alcuni brevi periodi di chiarezza, la sua ricerca si concluse per circa quattro decenni. Durante questo stesso periodo, il nome di Nash, il gioco non cooperativo a cui ha dato forma e definizione, e il suo concetto di equilibrio stavano diventando parte della formazione di base sulla teoria dei giochi.





Allora, cos'è un gioco non cooperativo? Non è un gioco in cui la cooperazione è esclusa a causa della struttura dei payoff come in un gioco a somma zero, in cui il vantaggio di un giocatore implica la perdita di un altro. Può esserci spazio per la cooperazione nel gioco, ma è escluso perché non esiste un meccanismo, come un contratto legalmente vincolante, per garantire l'impegno a strategie collusive.

Un semplice e celebrato gioco non cooperativo è il dilemma del prigioniero (nella foto sopra). Supponiamo che due cospiratori vengano arrestati e interrogati contemporaneamente in stanze separate. Ognuna ha la possibilità di confessarsi o di stare zitta e le viene offerto un patto: se confessa (ma il complice no), può andare in punizione mentre il complice andrà in prigione per 10 anni. Ma se entrambi scegliessero di tacere, andrebbero in prigione per un anno ciascuno per reati minori. E se entrambi confessano, andrebbero in prigione per otto anni ciascuno.



L'equilibrio unico di Nash del gioco è dove entrambi i giocatori confessano. È interessante notare che entrambi starebbero meglio se nessuno dei due confessasse. Ma questo non è un equilibrio di Nash, che è definito come uno stato stabile in cui nessun giocatore può migliorare il risultato per se stesso dato ciò che stanno facendo gli altri giocatori. Per un momento supponiamo che entrambi i giocatori in qualche modo indichino che sceglieranno di non confessare. In una situazione del genere, dato che il giocatore B non confessa, il giocatore A farebbe meglio a rinnegare e scegliere invece di confessare: nessun periodo di prigione è più allettante di un anno dietro le sbarre. Lo stesso vale per il giocatore B. Quindi entrambi si discostano dal loro impegno di tacere e confessano invece.

Le applicazioni degli equilibri di Nash e dei giochi non cooperativi sono infinite. Ad esempio, alcuni in India hanno notato che oggi il capitale privato sembra attendere l'avvio del ciclo di investimenti prima di investire i propri soldi. Questa situazione potrebbe essere modellata come un gioco non cooperativo tra due potenziali investitori, in cui i benefici dell'investimento si realizzano solo se entrambi affondano nei loro soldi. In un tale gioco, ci sono due equilibri di Nash: uno, in cui entrambi i giocatori investono, e due, in cui nessuno dei due investe. Sembra che siamo bloccati nel cattivo equilibrio. E mentre Nash è stato in grado di dimostrare l'esistenza di almeno un equilibrio per un gioco non cooperativo, la teoria tace sul perché ne risulti uno in particolare e non un altro. È qui che entrano in gioco governo, società e norme, per spingerci da cattivi equilibri a buoni.



parth.mehrotra@expressindia.com


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